Neste post vamos falar um pouco sobre um assunto básico de teoria dos números que é de certa forma recorrente em problemas. Não é estranho de vez em quando encontrar um problema que explora as propriedades básicas de divisibilidade de um número para obter uma solução de maneira mais eficiente ou simples (no final do post há alguns problemas que envolvem essa temática).
Mas algo mais interessante do que decorar as propriedades é entender de onde elas surgiram. E é isso que iremos ver aqui! Iremos discutir os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 25.
- CONCEITOS BÁSICOS
- Dizemos que um inteiro n é divisível por um inteiro m(m > 0) se existe um inteiro k tal que:
n = m * k
- Um número inteiro a na base 10 é definido da seguinte forma:
a = an, an-1, an-2, an-3, ..., a3, a2, a1, a0. Onde n é o número de casas decimais do número a.
Essa representação não é nada mais nada menos do que:
a = an x 10^n + ... + a3 x 10³ + a2 x 10² + a1 x 10¹ + a0 x 10⁰ - Uma notação comum, e que iremos utilizar apenas para poupar palavras, é m | n. Pode-se ler como m divide n.
Antes de iniciar a explicação de cada propriedade, aqui vai um resumo de todas as propriedades que serão abordadas:
Número : Critério
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2 : O último dígito é divisível por 2
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3 : A soma dos dígitos é divisível por 3
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4 : O número formado pelos últimos dois dígitos é divisível por 4
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5 : O número termina em 0 ou 5
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6 : É divisível por 3 e 2
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7 : O valor do número(excluindo o último dígito) mais 2 vezes
o último dígito é divisível por 7
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8 : O número formado pelos últimos três dígitos é divisível por 8
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9 : A soma dos dígitos é divisível por 9
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10 : Termina em 0
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11 : A soma dos dígitos nas posições pares menos a soma dos
dígitos nas posições ímpares é divisível por 11
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13 : O valor do número(excluindo o último dígito) mais 4 vezes
o último dígito é divisível por 13
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17 : O valor do número(excluindo o último dígito) mais 5 vezes o
último dígito é divisível por 17
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25 : O número termina em 00, 25, 50 ou 75.
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- Divisibilidade por 2 e qualquer potência de 2
Esse é um critério bastante simples, um pensamento correto é: todo número par é divisível por 2. Seguindo a definição de número par: 2*k, k é um número inteiro. Todo número par termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Assim, qualquer número terminado nesses dígitos é divisível por 2.
Mas vamos utilizar uma prova mais elaborada e que será útil para as provas de divisibilidade por 4 e 8, e qualquer potência de 2.
O que queremos provar é: um número é divisível por 2 se e somente se o último dígito desse número é divisível por 2.
Como a implicação é se e somente se temos que provar o que foi dito nas "duas direções".
Primeiramente, vamos considerar que m é um número divisível por 2 e 2 | m.
Note que m é algo do tipo :
m = mn x 10^n + ... + m3 x 10³ + m2 x 10² + m1 x 10 + m0.
De outra forma...m = 10 x (mn x 10^(n-1) + ... + m3 x 10² + m2 x 10¹ + m1)+ m0.
Dizendo que tudo em parênteses é igual a k.
m = 10 x (k)+ m0.
Assim, como 2 | m e 2 | 10k, então 2 | (m - 10k) = 2 | m0.
Agora, vamos considerar que 2 | m0. Novamente podemos escrevem m como:m = 10 x (k)+ m0.
Como 2 | m0 então, m0 = 2c, onde c é um inteiro >= 0
m = 10 x (k)+ m0.
m = 10 x (k)+ 2c.
m = 2 (5k + c)
m = 2d, d é um inteiro >= 0
Logo, se 2 | m0, então 2 | m.
Agora vamos generalizar a prova para qualquer potência de 2, escolhemos colocar em evidência o 10, por que? Pois é uma potência de 10 e 2 | 10.
E o que aconteceu com o número m0(primeiro dígito, ou seja que não tinha 10 como divisor)? Esse número(m0) que determinou a divisibilidade de todo o número(m).
E isso continuará acontecendo para qualquer potência de 2. Exemplo: queremos provar o critério de divisibilidade por 4. O procedimento será o mesmo acima, porém em vez de colocar em evidência 10, colocaremos 100. Pois, 4 | 100. Assim irão sobrar os dois últimos dígitos que serão justamente os dígitos que irão determinar a divisibilidade de todo o número.
O mesmo vale para 8, quem determina a divisibilidade são os 3 últimos dígitos, para 16, quem determina a divisibilidade são os 4 últimos dígitos, ..., para 2^n, quem determina a divisibilidade são os n últimos dígitos.
- Divisibilidade por 3: A soma dos dígitos é divisível por 3
A base para esta demonstração é provar o seguinte lema:
Lema: todo número x = 10^n, n >= 1. x = 3q + 1, q >= 1.
Prova: vamos provar por indução.caso base: o caso base é quando n = 1. Teremos:
x = 10^n = 10^1 = 10.
10 = 3q + 1, q = 3.
indução: supondo que isso é verdade para n = k > 1. Vamos provar para n = k + 1.
10^(k+1) = 10^k . 10 = (3q1 + 1) . 10 = (3q1 + 1) . (9 + 1) =
3(10q1 + 3) + 1 = 3(q2) + 1
Assim, se temos um m e 3 | m :
m = mn x 10^n + ... + m3 x 10³ + m2 x 10² + m1 x 10 + m0.
m = mn x (3.qn + 1) + ... + m2 x (3.q2 + 1) + m1 x (3q1 + 1) + m0.
m = 3 (mn x qn + ... + m2 x q2 + m1 x q1) + (mn + ... + m2 + m1 + m0)
m = 3k + s
Desta maneira fica fácil de ver que se 3 | m, como 3 | 3k, 3 | s é verdade.
Do mesmo modo o contrário. Se 3 | s, como 3 | 3k, então 3 | m é verdade.
- Divisibilidade por 5
Essa demonstração não será feita, pois pode ser feita uma prova similar a prova da divisibilidade por 2, se notarmos que podemos reescrever o critério como um número é divisível por25 se e somente se o último dígito desse número é divisível por25.
- Divisibilidade por 6
O critério de divisibilidade por 6 é ser divisível por 2 e 3. Como 2 e 3 são primos entre si, se temos um número 2 | a, ou seja a = 2k, e 3 | a, ou seja a = 3q. Podemos escrever a como algo do tipo: a = 6p (p =mdc(q,k)) , onde k,q >= 1. Apesar de não ser uma prova formal, essa ideia pode ser aplicada a qualquer número que possamos "destrinchar" em 2 números primos entre si. Exemplo: 12, critério de divisibilidade: ser divisível por 4 e 3. - Continuarei esse post em breve....
- Bibliografia
- http://www.mat.ufmg.br/~anacris/CriteriosDiv.pdf
- https://pt.wikipedia.org/wiki/Crit%C3%A9rios_de_divisibilidade
- http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/divisibilidade-1-criterios-mostram-se-divisao-e-possivel.htm
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